1) Có \(2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\)

Lại có : \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{ED}\\\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{BE}+\overrightarrow{EC}\end{matrix}\right.\rightarrow\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{BE}\right)+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{0}+\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\) Do đó : \(2\overrightarrow{EF}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{BC}\left(=\overrightarrow{ED}+\overrightarrow{EC}\right)\)

2) Có : \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{OE}\left(1\right)\\\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OF}=-2\overrightarrow{OE}\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

(1) + (2) => \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}=2\overrightarrow{OE}+2\overrightarrow{OF}=2\overrightarrow{OE}-2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{0}\)

3) \(\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AC}=4\overrightarrow{AO}\)

4) Ta có : \(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{MD}=\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)+\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)=4\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OD}\right)=4\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{0}=4\overrightarrow{MO}\)

Gọi E và F lần lượt là điểm nằm trên đoạn AB sao cho \(AE=\frac{1}{3}AB\) và \(AF=\frac{2}{3}AB\)

\(\Rightarrow\) I là trung điểm EF và \(\left\{{}\begin{matrix}\overrightarrow{EB}=-2\overrightarrow{EA}\\\overrightarrow{FA}=-2\overrightarrow{FB}\end{matrix}\right.\)

\(\left|2\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}\right|=\left|\overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|2\overrightarrow{ME}+2\overrightarrow{EA}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{EB}\right|=\left|\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{MF}+2\overrightarrow{FB}\right|\)

\(\Leftrightarrow\left|3\overrightarrow{ME}\right|=\left|3\overrightarrow{MF}\right|\)

\(\Leftrightarrow ME=MF\Leftrightarrow M\) nằm trên trung trực của EF

Hay tập hợp M là đường trung trực của AB

gọi M có tọa độ là (x;y) do M thuộc Ox=> tọa ddoooj M là (x;0)

ta có : \(\left|\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}\right|=\left|\left(-2-X;5\right)+\left(3-X;-1\right)+\left(7-X;1\right)\right|\)

=\(\left|\sqrt{\left(-2-X\right)^2+5^2}+\sqrt{\left(3-X\right)^2+1}+\sqrt{\left(7-X\right)^2+1}\right|\)

=> BẠN TÌ gtnn CÁI TRONG LÀ ĐC 

MA+ MB+ 2MC+ 2MD=0

MA+ MA+ AB+ 2MA+ 2AC+ 2MA+ 2AD=0

6MA+ AB+ 2AC+ 2AD=0

6MA+ 2AI+ 4AJ=0

6MA= 2IA+ 4JA

MA= 1/3 IA+ 2/3 JA